У червні 2024 року міжнародне наукове видавництво “Springer” опублікувало англомовну колективну монографію “Selected Problems of Solid Mechanics and Solving Methods”. Вона стала 104-м томом у серії “Advanced Structured Materials” і вийшла друком за редакцією професора Інституту механіки Маґдебурзького університету Отто фон Ґеріке іноземного члена НАН України Гольма Альтенбаха (Німеччина), віцепрезидента Національної академії наук України, завідувача відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ) академіка НАН України Вячеслава Богданова, завідувача відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України члена-кореспондента НАН України Олександра Григоренка, директора Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів) академіка НАН України Романа Кушніра, виконувача обов’язків директора Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України академіка НАН України Володимира Назаренка і викладача кафедри цивільної інженерії та екологічної інженерії та архітектури (DICAAR) Університету Кальярі (Італія) доктора фізико-математичних наук, професора Віктора Єремєєва. Це чи не перша монографія в авторитетному іноземному виданні на вшанування памʼяті видатного українського науковця-механіка, а саме – знаного фахівця у галузі обчислювальної механіки та механіки пластин і оболонок, організатора науки і педагога академіка НАН України Ярослава Михайловича Григоренка (1927–2022).
 |
Нагадаємо, видатний український науковець-механік Ярослав Михайлович Григоренко пішов у засвіти 18 січня 2022 року на 95-му році, проживши довге, складне і надзвичайно яскраве життя справді непересічної людини. Його дитинство припало на трагедію Голодомору і лихоліття Другої світової війни. З окупованого Києва, де він 1927 року народився і мешкав, 14-річного юнака Ярослава Григоренка силоміць забрали на примусові роботи до Німеччини. Після втечі у січні 1945-го й до 1948 року він служив у війську, брав участь у бойових діях. Попри 7-річну перерву в навчанні, успішно – із золотою медаллю – закінчив середню школу та вступив на механіко-математичний факультет Київського державного університету імені Т.Г. Шевченка (від 1992 року цей виш називається Київським національним університетом імені Тараса Шевченка).
 Академік НАН України Ярослав Михайлович Григоренко. 1975 рік |
Уся наукова діяльність Ярослава Михайловича по закінченні університету була нерозривно пов’язана з Інститутом механіки АН УРСР, що у Києві (від 1992 року це Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України). На основі аналітичних і чисельних досліджень напруженого стану конічних оболонок лінійно змінної товщини він успішно захистив кандидатську дисертацію (1961 рік). Тоді ж Інститут отримав одну з нечисленних перших великих електронно-обчислювальних машин БЕСМ 2М («Швидкодіючу електронно-обчислювальну машину»). Для роботи з нею в Інституті створили відділ обчислювальних методів, першим завідувачем якого і став Ярослав Михайлович Григоренко (на цій посаді він працював до 2005 року). Відтоді він з-поміж перших у світі почав розробляти чисельні методи й успішно застосовувати їх для розв’язання складних задач теорії оболонок, що раніше неможливо було зробити за допомогою аналітичних методів. 1970 року Я.М. Григоренко захистив докторську дисертацію, 1973 року йому присвоїли вчене звання професора. 1978-го обрали членом-кореспондентом, а 1992-го — дійсним членом (академіком) Національної академії наук України.
Наукові результати Я.М. Григоренка опубліковано у 34-х монографіях, підручниках і технічних словниках, понад пів тисячі наукових праць. Вони широко відомі й високо поціновані у світових фахових колах, увійшли до навчальної та довідкової літератури. Учений створив наукову школу з обчислювальної механіки, яка продовжує розвивати різні аспекти теорії та вдосконалювати методи обчислення неоднорідних анізотропних оболонок і пружних твердих тіл.
 Академік НАН України Ярослав Григоренко (ліворуч) з учнями – Галиною Урусовою, Олександром Григоренком, Оленою Беспаловою |
Чимало уваги Ярослав Михайлович приділяв талановитій молоді. Зокрема, підготував десятьох докторів і сорок трьох кандидатів наук. Плідно співпрацював із багатьма вченими з українських наукових установ і освітніх закладів, сприяв їхньому науковому зростанню. Брав участь у численних міжнародних конференціях, симпозіумах і семінарах в Японії, США, Греції, Німеччині, Бельгії, Великій Британії, Австрії та Польщі.
Монографію “Selected Problems of Solid Mechanics and Solving Methods” численні учні та колеги Ярослава Михайловича Григоренка написали з присвятою: «У пам’ять про Я.М. Григоренка, нашого вчителя, колеги і друга, котрий розпочав свій життєвий шлях як остарбайтер і став видатним науковцем в обчислювальній механіці».
Монографія складається з передмови та 32-х розділів.
Розділ 1 «Етапи життєвого шляху Ярослава Михайловича Григоренка та основні результати його наукових досліджень» (автори – професор Інституту механіки Маґдебурзького університету Отто фон Ґеріке (Німеччина) іноземний член НАН України Гольм Альтенбах, віцепрезидент Національної академії наук України, завідувач відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України академік НАН України Вячеслав Богданов, завідувач відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України член-кореспондент НАН України Олександр Григоренко, заступник директора Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, академік-секретар Відділення інформатики НАН України, заступник директора з наукової роботи Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України академік НАН України Олександр Хіміч, директор Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України академік НАН України Роман Кушнір і виконувач обов’язків директора Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України академік НАН України Володимир Назаренко) висвітлює великий внесок академіка НАН України Я.М. Григоренка в обчислювальну механіку. Тут подано короткий біографічний огляд його найважливіших наукових досягнень і бібліографію.
 Академік НАН України Ярослав Григоренко. 2006 рік |
Своїми працями Я.М. Григоренко зробив вагомий внесок у низку розділів механіки деформованого твердого тіла. Він розробив основні положення з теорії конічних оболонок змінної товщини за різних силових і температурних впливів, розвинув теорію анізотропних шаруватих оболонок із шарами змінної жорсткості, розробив чисельно-аналітичний підхід до розв’язання широкого класу задач статики та коливань оболонок обертання складної форми меридіану. Цей підхід за своєю ефективністю, стійкістю та точністю результатів значно перевищує низку інших методів, відомих у світовій практиці розрахунків. Я.М. Григоренко розв’язав широкий клас задач стаціонарного деформування для неоднорідних анізотропних оболонок у постановках різного ступеня строгості; одержав важливі результати з механіки гнучких оболонок за класичною та уточненою оболонковими моделями; запропонував підхід і дослідив напружений стан ортотропних оболонок складної структури за товщиною в докритичній і закритичній областях; розробив підходи до розв’язання двовимірних нелінійних крайових задач і дослідив поведінку оболонок обертання за неосесиметричних силових і температурних навантажень. Він запропонував методи розв’язання задач механіки для диференціальних рівнянь у частинних похідних із використанням сплайн-функцій та дискретних рядів Фур’є; одержав низку результатів із біомеханіки в галузі стоматології. Розроблені вченим і його учнями методи розрахунку мають широку область застосування, апробовані на практиці, впроваджені й використовуються під час проєктування та створення раціональних конструкцій в енергомашинобудуванні та ракетно-космічній техніці.
Коли Україна стала незалежною державою, постала необхідність розвивати наукову термінологію українською мовою. За часів СРСР російська мова домінувала, а українська термінологія не була пріоритетною. Я.М. Григоренко з дитинства захоплювався українською мовою. Багато часу приділяв створенню російсько-українських і російсько-українсько-англійських словників, орієнтованих на механіку. Ці словники широко використовуються в багатьох наукових установах і освітніх закладах усієї України.
Я.М. Григоренко часто виступав опонентом на захисті дисертаційних робіт. Він допомагав молодим ученим, багато з яких згодом ставали відомими професорами, поліпшувати зміст своїх наукових досліджень. Академіки НАН України Роман Кушнір і Олександр Хіміч та академік НАН Вірменії Ленсер Агаловян завжди із вдячністю згадують його допомогу й увагу під час захисту докторських дисертацій.
До всієї наукової праці Я.М. Григоренка можна застосувати слова видатного англійського вченого лорда Кельвіна: «Я ніколи не отримую задоволення від формул, доки не відчую числових значень величин». Усі його монографії, статті та тези його студентів присвячувалися пошуку чисельних рішень для нових, складних завдань у теорії оболонок і пластин – зокрема, просторової теорії пружності. Його слушно вважають одним із піонерів нової галузі науки – обчислювальної механіки – у світі.
Наприкінці розділу наведено основні наукові праці Я.М. Григоренка.
Наступні розділи пропонують розроблені різними науковими школами й у різних країнах нові підходи до розв’язання такої проблеми, як оцінювання похибок у наближених теоріях у багатьох галузях, – не лише в аналітичній механіці, а й у фізиці, математиці та будівництві.
Розділ 2 стосується скінченноелементного моделювання частково провідної міжфазної тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі. Автори – викладачі Дніпровського національного університету імені Олеся Гончара: старший науковий співробітник науково-дослідної лабораторії механіки руйнування та пластичного деформування матеріалів кафедри теоретичної та комп’ютерної механіки механіко-математичного факультету кандидат фізико-математичних наук Віктор Адлуцький, професорка кафедри комп’ютерних технологій факультету прикладної математики докторка фізико-математичних наук Наталія Гук і завідувач кафедри теоретичної та комп’ютерної механіки механіко-математичного факультету доктор фізико-математичних наук, професор Володимир Лобода – методом скінченних елементів (МСЕ) проаналізували плоский деформований стан міжфазної тріщини в п’єзоелектричному біматеріалі під дією паралельного тріщині електричного навантаження й ортогонального до неї механічного навантаження. Обидва п’єзоматеріали поляризовані в напрямі, ортогональному до поверхонь тріщин. Одна частина граней тріщин є електропровідною, інша – ізольованою. Параметри руйнування тріщини досліджено та представлено у формі графіків і таблиць.
Тема розділу 3 – «Асимптотична поведінка вимушених коливань шаруватих пластин». Автори – працівники відділу механіки тонкостінних систем Інституту механіки Національної академії наук Вірменії: завідувач цього відділу і радник директора Інституту академік НАН Вірменії Ленсер Агаловян, провідний науковий співробітник доктор фізико-математичних наук Мхер Агаловян і науковий співробітник доктор філософії Татевік Закарян – розглядають динамічні тривимірні проблеми еластичності, спеціально розроблені для багатошарових пластин. На відміну від класичних і наявних уточнених теорій пластин і оболонок, які виявилися непридатними для цього конкретного класу проблем, це дослідження призвело до відкриття принципово відмінних асимптотик для компонент тензора напружень і векторів переміщення. Такий прорив дав змогу сформулювати асимптотичний розв’язок, аби розібратись у тонкощах тривимірної проблеми. Дослідження визначає конкретні сценарії, коли отримане рішення досягає математичної точності, забезпечуючи повне розуміння умов, за яких запропонований підхід виявляється особливо ефективним. Досліджуючи ці динамічні тривимірні проблеми пружності з шаруватими пластинами, ця робота пропонує нові ідеї та рішення, що долають обмеження класичних теорій пластин.
Розділ 4 присвячено методам чисельного розв’язання задач термопластичності з урахуванням режиму напружень (автори – науковці відділу термопластичності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: провідна наукова співробітниця докторка фізико-математичних наук Майя Бабешко, завідувач відділу доктор технічних наук Олександр Галішин, головний науковий співробітник доктор технічних наук Віталій Савченко і заступник завідувача відділу кандидат технічних наук Микола Тормахов (1950–2023)). У цьому дослідженні представлено передові чисельні методи для аналізу пружно-пластичного напруження-деформації складних тіл, що зазнають термосилового навантаження. Основні рівняння, враховують залежність властивостей ізотропних матеріалів від температури, виду напруженого стану й історії деформування. Зокрема, ці рівняння фіксують дві нелінійні залежності, що включають інваріанти напружено-деформованого стану та кута моди напруження. Щоби підвищити ясність алгоритму, зв’язки між компонентами тензора напруження й деформації переформульовано в узагальнену форму закону Гука, доповнену додатковими умовами. Автори описали процедуру послідовних наближень для полегшення чисельних обчислень. Представлено результати чисельного моделювання для досягнення необхідного розуміння складної поведінки цих складних тіл за різноманітних умов навантаження.
У розділі 5 проаналізовано застосовність балкової апроксимації в задачах про стиснення тіл уздовж близько розташованих тріщин. Автори – науковці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: завідувач відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ академік НАН України Вячеслав Богданов, старший науковий співробітник відділу обчислювальної механіки та техніки кандидат фізико-математичних наук Михайло Довжик і виконувач обов’язків директора Інституту академік НАН України Володимир Назаренко – дослідили некласичну задачу механіки руйнування про стиснення тіл уздовж близько розташованих паралельних тріщин. Розглянуто випадки, коли тіло містить дископодібні приповерхневі тріщини, паралельні граничній поверхні тіла, дві паралельні дископодібні тріщини і масив паралельних дископодібних тріщин. Вважається, що процес руйнування починається зі втрати стійкості частини матеріалу, що оточує тріщини. За допомогою підходу, базованого на співвідношеннях і методах тривимірної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл за скінченних і малих докритичних деформацій, розраховано критичні навантаження, що відповідають початку руйнування гіперпружних і композиційних матеріалів із тріщинами. Використана методологія дає змогу перейти до границі, коли відстань розділення між паралельними тріщинами або між приповерхневою тріщиною та межею тіла прямує до нуля. На основі здобутих результатів у межах строгого тривимірного лінеаризованого підходу оцінено межі застосовності балкового наближення, яке використовують інші автори і яке спирається на дослідження втрати стійкості відповідних ідеалізованих двовимірних об’єктів, «ніби розділених» тріщинами.
Розділ 6 містить аналіз руйнування ортотропної пластини з тріщиною при двовісному навантаженні. Автори – науковці відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: старша наукова співробітниця кандидатка фізико-математичних наук Ольга Богданова й завідувач відділу доктор фізико-математичних наук, професор Анатолій Камінський – запропонували узагальнення моделі тріщини із зоною передруйнування для ортотропних матеріалів. Вважається, що матеріал у зоні передруйнування задовольняє умову міцності довільного виду. За допомогою запропонованої моделі тріщини досліджено руйнування ортотропної пластини з тріщиною в умовах двовісного навантаження. Тріщина розташована вздовж однієї з осей анізотропії, а зовнішні навантаження діють паралельно та перпендикулярно до неї. У межах критерію критичного розкриття тріщини та критичного значення J-інтегралу проаналізовано вплив двовісності зовнішнього навантаження на критичний стан пластини з тріщиною. Отримано чисельний розв’язок для критеріїв міцності фон Мізеса–Хілла та Гольденблата–Копнова. Автори порівнюють здобуті теоретичні результати з експериментальними даними, отриманими під час випробування зразків із конструкційних металів.
У розділі 7 здійснено двопараметричний аналіз напівнескінченної тришарової висококонтрастної пружної стрічки за антиплоскої деформації зсуву. Автори – науковці Школи комп’ютерних наук і математики Кілського університету (Велика Британія): аспірант Ілля Черноморець, професор Юліус Каплунов і лектор Даніла Приказчіков – дослідили антиплоский зсув симетричної тришарової пружної півсмуги під дією самозрівноваженого крайового навантаження. Розглянуто довільні співвідношення товщини та жорсткості з виокремленням висококонтрастного сценарію; при цьому два вищезазначені параметри безрозмірної задачі вважаються взаємно незалежними. Виведено просту явну умову, що підтверджує повільно згасаючий розв’язок рівнянь рівноваги. Представлено провідні оцінки для швидкості розпаду й амплітуди цього розв’язку, підкреслено його домінантний внесок у поле пеерміщення. Для виведення використано асимптотичну формулу, яка забезпечує усунення прикордонного шару, локалізованого біля краю напівсмуги. Розглядаються також особливості останнього. Наведено чисельні результати, включно з порівнянням отриманих скорочених і повних виразів для шуканих для розв’язків, що повільно згасають.
У розділі 8 розглянуто оптимізацію режимів термічної обробки тіл із функціонально градієнтних матеріалів. Автори – науковці відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: провідний науковий співробітник доктор фізико-математичних наук Богдан Дробенко та старший науковий співробітник кандидат фізико-математичних наук Євгеній Ірза – розробили загальний підхід до оптимального керування тепловими режимами процесів термообробки деформівних пружних і в’язкопружних тіл із функціонально-градієнтних матеріалів. Мінімальна тривалість процесу термічної обробки є критерієм оптимальності за обмежень на напружено-деформований стан тіла і технологічні параметри нагрівання–охолодження. Розроблено оригінальний метод чисельного розв’язку сформульованої оптимізаційної задачі, яка після її просторово-часової дискретизації зводиться до параметричної мінімізації функції однієї змінної на кожному кроці у часі. Отримано розв’язок задач оптимального керування тепловими режимами у процесах нагрівання й охолодження скінченних термочутливих циліндрів із пружних і в’язкопружних функціонально-градієнтних матеріалів.
Розділ 9 присвячено чисельному аналізові контакту між пружними тілами за наявності тонкого покриття та нелінійних поверхневих шарів Вінклера. Автори – викладачі Львівського національного університету імені Івана Франка: декан факультету прикладної математики та інформатики, професор кафедри прикладної математики цього факультету доктор фізико-математичних наук Іван Дияк, доцент кафедри математичної економіки, економетрії, фінансової та страхової математики механіко-математичного факультету кандидат фізико-математичних наук Іван Прокопишин, доцент кафедри прикладної математики факультету прикладної математики та інформатики кандидат фізико-математичних наук Андрій Стягар, а також старший науковий співробітник відділу математичних проблем контактної механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України кандидат фізико-математичних наук Ігор Прокопишин – розглянули задачу однобічного контакту через нелінійний поверхневий шар Вінклера масивного пружного тіла та композиційного тіла, що складається з тонкого покриття у вигляді оболонки типу Тимошенка та масивної пружної основи, з’єднаної з покриттям через інший нелінійний вінклерівський шар. Наведено слабку постановку цієї задачі у вигляді нелінійного варіаційного рівняння. Для розв’язання цього рівняння запропоновано паралельний метод декомпозиції області типу Робена, який зводить вихідну контактну задачу до ітераційного розв’язку незалежних лінійних варіаційних рівнянь, що відповідають задачам пружності для масивних тіл і задачі теорії оболонки типу Тимошенка для тонкого покриття. За допомогою скінченно-елементної апроксимації розроблений метод використано для дослідження контакту двох масивних пружних тіл із поверхневою канавкою за наявності тонкого покриття й нелінійних поверхневих шарів типу Вінклера. Проаналізовано залежність контактних і міжфазних напружень від висоти покриття і параметра шару Вінклера. Порівняно результати, отримані для покриттів, змодельованих за допомогою теорії оболонок типу Тимошенка та класичної теорії пружності.
У розділі 10 ідеться про оптимізацію ваги неоднорідних оболонок обертання методами теорії оптимальних процесів (автори – викладачі Дніпровського національного університету імені Олеся Гончара: професор кафедри теоретичної та комп’ютерної механіки механіко-математичного факультету доктор технічних наук Анатолій Дзюба, доцент кафедри комп’ютерних технологій факультету прикладної математики кандидат технічних наук Петро Дзюба, інженерка І категорії кафедри теоретичної та комп’ютерної механіки механіко-математичного факультету Лариса Левитіна і начальник комплексу проєктно-теоретичних і розрахункових робіт Державного підприємства «Конструкторське бюро «Південне» імені М.К. Янгеля» кандидат технічних наук Володимир Сіренко). Це дослідження представляє математично й механічно точні моделі, які застосовують теорію оптимальних процесів для зменшення кількості матеріалу, що використовується у пружних неоднорідних оболонках обертання зі змінною жорсткістю. Розділ містить також результати оптимізації ваги оболонкових конструкцій.
Тема розділу 11 – «Про M-інтеграл у лінійній мікрополярній пружності з симетричним тензором напружень». Автор – викладач кафедри цивільної інженерії та екологічної інженерії та архітектури (DICAAR) Університету Кальярі (Італія) доктор фізико-математичних наук Віктор Єремєєв – розглядає М-інтеграл і відповідний закон збереження в окремому випадку лінійної мікрополярної пружності, обмежуючись випадком незв’язаних основних рівнянь із симетричним тензором напружень. Сформульовано додатковий закон збереження як у класичній пружності Коші.
У розділі 12 представлено нелінійний динамічний аналіз прогресуючого колапсу на багатоядерних комп’ютерах. Автор – професор факультету інформатики і телекомунікацій Краківської політехніки імені Тадеуша Костюшка (Польща) габілітований доктор Сергій Фіалко – розглянув метод аналізу конструкцій на прогресуюче руйнування, заснований на інтегруванні нелінійних рівнянь руху. Розроблено бібліотеку скінченних елементів, яка містить скінченні елементи як стрижня, так і плоскої оболонки, що враховують поперечні деформації зсуву. Для залізобетонних елементів конструкцій враховано дискретне розміщення арматури. Поведінку бетону описано в межах теорії пластичної течії з використанням поверхні текучості у формі некруглого параболоїда, а поведінку арматури – теорією пластичної течії фон Мізеса з використанням кінематичного зміцнення. Руйнування бетону й розрив арматури змодельовано за допомогою параметра пошкодження. Враховано геометричну нелінійність. Метод орієнтований на багатоядерні процесори зі спільною пам’яттю.
Розділ 13 описує втомну витривалість тонкостінних циліндричних оболонок за двовісного комбінованого навантаження. Автор – завідувач відділу механіки повзучості Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України доктор технічних наук, професор Владислав Голуб – розв’язує задачу визначення кількості циклів до руйнування тонкостінних циліндричних оболонок внаслідок багатоциклової втоми за комбінованих одноосьових навантажень розтягування-стискання/кручення та згинання/кручення. Розв’язки побудовано на основі концепції еквівалентних напружень, структуру яких задано на основі класичних критеріїв руйнування. Як критерії руйнування використано критерій максимальних нормальних напружень, критерій максимальних дотичних напружень, критерій питомої енергії деформації внаслідок формозмінення. Результати розрахунків перевірено експериментально.
У розділі 14 увагу зосереджено на напруженому стані гофрованих оболонок із косими зрізами (автори – завідувач відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України член-кореспондент НАН України Олександр Григоренко, провідний науковий співробітник цього відділу доктор фізико-математичних наук Сергій Яремченко, професор кафедри вищої та прикладної математики Київського інституту водного транспорту імені гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного Державного університету інфраструктури та технологій доктор технічних наук Микола Крюков і професор Інституту механіки Берлінського технічного університету Вольфґанґ Мюллер). Запропоновано підхід до розв’язання задач напружено-деформованого стану гофрованих циліндричних оболонок із косими зрізами. Обрано рівняння теорії оболонок на основі гіпотези прямої лінії. Підхід до розв’язання базується на параметризації поверхні оболонки, зведенні двовимірної крайової задачі до одновимірної методом сплайн-колокації та розв’язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проаналізовано вплив геометричних параметрів на поля переміщень гофрованих оболонок зі скошеними перерізами.
У розділі 15 подано чисельний аналіз частот вільних коливань шестигранної пластини. Автори – науковці відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: завідувач відділу член-кореспондент НАН України Олександр Григоренко, старший науковий співробітник кандидат фізико-математичних наук Максим Борисенко і старша наукова співробітниця кандидатка фізико-математичних наук Наталія Борейко, а також старша викладачка кафедри прикладної та вищої математики інженерно-енергетичного факультету Миколаївського національного аграрного університету кандидатка фізико-математичних наук Олена Бойчук – розглянули вільні коливання ізотропних шестикутних пластин різної товщини з вільними краями на основі двох різних підходів. Підхід до розрахунку частот вільних коливань ізотропних квадратних пластин методом Релея–Рітца поширено на розрахунок частот вільних коливань гексагональних пластин. Коефіцієнти мод і граничні умови у наведеній формулі розраховано залежно від відношення товщини до сторони пластини. З’ясовано межі застосування формули. Частоти і форми вільних коливань пластин цього класу розраховано методом скінченних елементів (МСЕ). Частоти, розраховані методом скінченних елементів, автори порівняли з частотами, розрахованими за наведеною формулою, і з’ясували точність розрахунків двома методами. Порівняно моди коливань, отриманих на основі МСЕ, з модами коливань, що їх чисельно й експериментально отримали інші автори. Встановлено топологію форм вільних коливань для шестикутних, п’ятикутних, чотирикутних і трикутних пластин із вільними краями. Реалізовані у цьому розділі підходи дають змогу досліджувати динамічні характеристики пластин інших конфігурацій, і їх (підходи) можна використовувати для оцінювання точності інших підходів.
Розділ 16 описує окремі аспекти термомеханіки феритових тіл при електромагнітних діях. Автори – науковці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: завідувач відділу теорії фізико-механічних полів доктор фізико-математичних наук, професор Олександр Гачкевич, старший науковий співробітник цього відділу кандидат фізико-математичних наук Роман Івасько та директор Інституту академік НАН України Роман Кушнір, а також проректорка з освітньо-навчальної роботи Опольської політехніки (Польща), викладачка кафедри математики і прикладної інформатики цього університету докторка Аніда Станік-Беслер – розглядають фізико-математичні проблеми, пов’язані з побудовою запропонованої моделі кількісного опису та методів дослідження термічного напруженого стану феритових тіл, спричиненого дією слабких зовнішніх квазісталих електромагнітних полів (ЕМП) високої носійної частоти. Модель ґрунтується на загальній теорії взаємодії ЕМП і матеріального континууму (який може бути одночасно намагніченим і поляризованим у певних ділянках частотного спектру квазістаціонарних ЕМП), в якій вплив електромагнітного випромінювання враховано через розсіювання тепла (пов’язане з перемагнічуванням і реполяризацією) і пондеромоторних сил (за статистичного опису силових факторів впливу випромінювання на тіло, що розглядається), а також відомі з літератури для таких матеріалів експериментально визначені характеристики — комплексні магнітна та діелектрична проникності й відповідні тангенси кутів втрат. Одержані розв’язки нових задач із визначення електромагнітних, температурних і механічних полів у шарі феритового матеріалу під дією ЕМП заданого квазістаціонарного електричного струму, рівномірно та періодично розподіленого за просторовою координатою в паралельній основі шару площині, що несе струм. Виявлено низку нових закономірностей механічної поведінки феритових тіл за дії зовнішніх електромагнітних навантажень, зокрема пов’язаних із резонансними явищами.
Розділ 17 стосується впливу температурної залежності термомеханічних характеристик функціонально-градієнтних матеріалів на термонапружений стан порожнистої кулі. Автори – науковці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: старша наукова співробітниця відділу термомеханіки кандидатка фізико-математичних наук Галина Гарматій, провідний науковий співробітник відділу механіки деформівного твердого тіла доктор фізико-математичних наук Богдан Калиняк і провідний науковий співробітник відділу числових методів математичної фізики доктор фізико-математичних наук, професор Мирослав Кутнів – розв’язали незв’язану квазістатичну задачу термопружності для порожнистої кулі з урахуванням температурної залежності термомеханічних характеристик компонентів функціонально-градієнтного матеріалу. Температурне поле визначено з урахуванням складного теплообміну із середовищами змінної температури. Нелінійну нестаціонарну крайову задачу теплопровідності розв’язано чисельним методом прямих. Відповідну задачу термопружності було розв’язано її зведенням до інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду і заміною інтеграла на квадратурну формулу. Для різних моделей гомогенізації властивостей обраного металокерамічного двокомпонентного матеріалу досліджено вплив температурної залежності теплофізичних і механічних характеристик на термонапружений стан порожнистої сфери.
Розділ 18 присвячено концентрації напружень навколо круглого отвору в тонких пластинах і циліндричних оболонках із радіально неоднорідним включенням. Автори – провідний науковий співробітник відділу міцності і надійності механічних систем Інституту технічної механіки НАН України і ДКА України, професор кафедри теоретичної та комп’ютерної механіки механіко-математичного факультету Дніпровського національного університету імені Олеся Гончара член-кореспондент НАН України Вадим Гудрамович (1936–2023), професорка цієї кафедри доктор фізико-математичних наук, доцентка Етері Гарт і аспірант цієї кафедри Богдан Терьохін – здійснили комп’ютерне моделювання та скінченно-елементний аналіз напружено-деформованого стану тонких пластин і тонкостінних циліндричних оболонок із круглим отвором за наявності навколишнього кільцевого включення функціонально-градієнтного матеріалу (ФГМ). Досліджено вплив розмірів включення ФГМ і закону зміни його модуля пружності на концентрацію параметрів напружено-деформованого стану пластин і оболонок в околі отвору. Отримано поля розподілу інтенсивностей напружень і деформацій елементів пластинчастої конструкції в зонах локальної концентрації напружень. З’ясовано, що, використовуючи радіально неоднорідне кільцеве включення з певними механічними властивостями та геометричними параметрами, можна на понад 35% знизити коефіцієнт концентрації напружень і відповідні інтенсивності деформацій в околі отвору. Закон зміни модуля пружності включення ФГМ і ширини включення суттєво впливає не лише на концентрацію параметрів напружено-деформованого стану пластини й оболонки, а й на характер розподілу напруження на їхній поверхні. Результати серії масштабних обчислювальних експериментів показують, що використання кільцевого включення ФГМ дає змогу зменшити інтенсивність як напружень, так і деформацій навколо отвору. Це відкриває перспективи для пошуку раціональних параметрів включень з погляду максимально можливого зниження локальної концентрації напруження.
У розділі 19 ідеться про розв’язування некоректних задач теорії пружності (автори – академік-секретар Відділення інформатики НАН України, заступник директора з наукової роботи Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу чисельних методів та комп’ютерного моделювання академік НАН України Олександр Хіміч і провідний науковий співробітник цього відділу доктор фізико-математичних наук Олександр Попов). На прикладі першої основної задачі теорії пружності обґрунтовано можливості ефективного дослідження й розрахунку математичних моделей, що описуються задачами з єдиним розв’язком на підпросторі. Запропоновано методику отримання єдиного розв’язку варіаційної задачі на підпросторі — нормального узагальненого розв’язку — за допомогою дискретної скінченноелементної моделі на всьому просторі. Для знаходження нормального узагальненого розв’язку дискретної задачі — системи лінійних алгебраїчних рівнянь із симетричною напіввизначеною матрицею – використано метод триетапної регуляризації, який дає змогу отримати ці розв’язки із заданою точністю. Цей метод ефективно реалізовано на сучасних високопродуктивних комп’ютерах.
Розділ 20 стосується впливу граничних умов і дисипативного нагрівання на резонансну вібрацію в’язкопружної циліндричної оболонки з п’єзоелектричними датчиками (автори – провідний науковий співробітник відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України доктор фізико-математичних наук Іван Киричок, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, провідний науковий співробітник відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України член-кореспондент НАН України Ярослав Жук, доцентка кафедри технології м’яса і м’ясних продуктів Інституту харчових технологій Національного університету харчових технологій (Київ) кандидатка технічних наук Ольга Чернюшок). Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання та дисипативне нагрівання в’язкопружної циліндричної оболонки з п’єзоелектричними датчиками з урахуванням температурної залежності, площинної зсувної деформації та в’язкопружної характеристики матеріалу й умов затискання кромки. Досліджено вплив температурної залежності, площинної зсувної деформації й умов теплообміну на поверхнях на амплітудні та температурно-частотні характеристики вимушених коливань оболонки. Розроблено спеціальну методику прогнозування довговічності оболонки на основі критерію термічного руйнування.
Розділ 21 присвячено оптимізації топології подвійного клейового з’єднання внапуск. Автори – викладачі Національного аерокосмічного університету «Харківський авіаційний інститут»: професор кафедри вищої математики та системного аналізу факультету ракетно-космічної техніки доктор технічних наук Сергій Курєннов, доцент цієї кафедри кандидат технічних наук Костянтин Барахов і професор кафедри композиційних конструкцій та авіаційного матеріалознавства цього ж факультету кандидат технічних наук Ігор Тараненко – пропонують одновимірну математичну модель напруженого стану для симетричного подвійного зсувного клейового з'єднувача з змінною товщиною вздовж лінії з’єднання. Ця модель є розширенням класичної моделі Голланда–Рейснера. Завдяки геометричній симетрії згинаються не носійні плити, а з’єднувач унаслідок ексцентриситету прикладення навантаження. Запропоновану математичну модель використано для розв’язання задачі топологічної оптимізації форми подвійного з’єднувача та визначення довжини клейової плівки з м’яким і жорстким клеями, використаними в одному з’єднанні. Форма з’єднувача описується зменшенням його товщини вздовж довжини з’єднання за допомогою ряду Фур’є за косинусами. Задача оптимізації потребує знаходження довжини подвійного з’єднувача та коефіцієнтів Фур’є, а цільовою функцією можна вибрати як довжину з’єднання, так і площу поперечного перерізу з’єднувача. Обмеження застосовуються до максимального напруження в клейовій плівці, напруження у з’єднувачах, а також мінімальної та максимальної товщини з’єднувача. Пряма задача визначення напруженого стану з’єднання за заданих геометричних параметрів розв’язується методом скінченних різниць. Задача оптимізації розв’язується за допомогою генетичного алгоритму. Для поліпшення збіжності цього методу використовується острівна модель генетичного алгоритму. Особливістю запропонованої моделі алгоритму є те, що на одному з «острівців» мутації відбуваються частіше і з більшою дисперсією, ніж на двох інших «острівцях». Такий розв’язок забезпечує як швидкість еволюційного відбору, так і стабільність одержаних результатів. Розв’язано дві модельні задачі.
У розділі 22 представлено дослідження вібраційної поведінки пористих функціонально-градієнтних пологих оболонок методом Рітца. Авторки – викладачки кафедри вищої математики Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут»: докторка технічних наук, професорка Лідія Курпа та кандидатка технічних наук, доцентка Тетяна Шматко – здійснили аналіз вільних коливань пористих функціонально-градієнтних пологих оболонок зі складною формою в плані та спертих на пружну основу. Математична модель задачі виконується за допомогою першої теорії деформації зсуву (FSDT). Вважається, що властивості матеріалу безперервно змінюються по товщині оболонки за степеневим законом. Розглянуто два типи моделей, що описують розподіл пористості (рівномірну та нерівномірну). Для аналізу вільних коливань пористих пологих оболонок складної в плані форми застосовано варіаційний метод Рітца, поєднаний із теорією R-функцій. Одержані чисельні результати для власних частот порівняно з відомими результатами й отримано хороше узгодження. Аби продемонструвати можливості запропонованого підходу, авторки дослідили пологі оболонки зі складною в плані геометричною формою. Досліджено вплив різних геометричних і механічних параметрів на власні частоти.
У розділі 23 розкрито тему поздовжнього зсуву біматеріалів із міжфазними тонкими фізично нелінійними шаруватими функціонально-градієнтними неоднорідностями. Автори – директор Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України академік НАН України Роман Кушнір, провідний науковий співробітник відділу термомеханіки цього Інституту Георгій Сулим, доцент кафедри прикладної математики факультету інформатики та телекомунікацій Краківської політехніки (Польща), завідувач кафедри прикладної математики і фізики факультету комп’ютерної поліграфічної інженерії Української академії друкарства (Львів) доктор фізико-математичних наук Йосиф Піскозуб і доцент кафедри проєктування й експлуатації машин факультету машинобудування Білостоцької політехніки (Польща) доктор Роман Качинський – запропонували аналітико-числовий метод розв’язання класу задач із визначення механічних полів у композиційних структурах із міжфазними стрічкоподібними деформівними багатошаровими фізично нелінійними неоднорідностями за комбінованого силового та дислокаційного матеріалу з довільними механічними властивостями. Передбачено можливість існування неідеального контакту на ділянці межі розділу між включенням і матрицею, а також між шарами включення, де є поверхнева енергія або ковзання з сухим тертям. На основі методу функцій стрибка розраховано поле напружень–деформацій в околі включення під впливом дії зосереджених сил і гвинтових дислокацій. Розраховано значення узагальнених коефіцієнтів інтенсивності напружень для асимптотики полів напружень–деформацій в околі торців тонких неоднорідностей, за якими можна розрахувати концентрацію напружень і локальну міцність конструкції. Виявлено кілька нових ефектів, які можна використовувати, проєктуючи структуру шарів і режими роботи таких композитів.
У розділі 24 ідеться про динаміку тришарових сферичних оболонок з гетерогенним наповнювачем за нестаціонарних навантажень (автор – завідувач відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України доктор технічних наук, професор Петро Луговий). Зокрема, досліджено динаміку тришарової сферичної оболонки з дискретно-симетричним ядром, армованим ребрами за нестаціонарних навантажень. Під часу аналізу елементів пружної структури використано модель теорії оболонок і стрижнів Тимошенка за незалежних статичних і кінематичних гіпотез для кожного шару. За варіаційним принципом Гамільтона–Остроградського отримано рівняння руху тришарової сферичної оболонки з дискретно-симетричним легким, армованим ребрами наповнювачем. Методом скінченних елементів отримано чисельні результати, що ілюструють природу коливань тришарової пружної конструкції. Досліджено вплив геометричних і фізико-механічних параметрів симетричних шарів оболонки на її динамічну поведінку за імпульсного осесиметричного внутрішнього навантаження.
Розділ 25 описує новий структурний підхід до визначення ефективних термопружних модулів дискретних композитних шарів (автори – науковці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: завідувач відділу моделювання композитних структур та складних систем доктор фізико-математичних наук, професор Михайло Марчук і старший науковий співробітник цього відділу, доцент кафедри геології корисних копалин і геофізики геологічного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка кандидат фізико-математичних наук, доцент Микола Хом’як. Як зазначають автори, при застосуванні ефективної одношарової моделі важливим є правило суміші для термопружних властивостей шаруватих композиційних матеріалів та його уточнення, що є актуальною проблемою. На відміну від класичної лінійної теорії пластин, реальні розподіли деформацій по товщині для товстих і помірно товстих пластин можуть суттєво відрізнятися від лінійних, що продемонстровано для типових пакетів шарів у межах тривимірної лінійної теорії пружності з використанням методу скінченних елементів. Якщо лінійний розподіл деформацій інтерпретувати як модель статистичної регресії, то концепцію ефективної одношарової моделі можна запропонувати для шаруватих пластин у ширшому діапазоні відношення довжини до товщини. Ідея пропонованого нового правила суміші в межах структурного підходу з урахуванням властивостей матеріалу, напрямку армування, товщини та дискретного розгляду шарів у пакеті, базується на окремій класифікації внесків деформацій та напружень у жорсткіших чи податливіших шарах для кожної нормальної чи зсувної компоненти в площині. Дотримуючись статистичного підходу, сформульовано гіпотези щодо розподілу деформацій і напружень по товщині. Детально показано техніку усереднення для всіх деформацій і напружень у площині. Подібно до класичної лінійної теорії пластин отримано матричне визначальне співвідношення між зусиллями/моментами й усередненими деформаціями/кривинами. Матриці жорсткості шаруватого композиту розраховуються з використанням як арифметичного (прямого), так і геометричного (зворотного) правил усереднення. Надалі цей підхід автори планують верифікувати, вдосконалювати і використовувати.
Тема розділу 26 – моделювання термонапруженого стану функціонально градієнтних пологих оболонок у тривимірній постановці. Автор – завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства факультету заочного, дистанційного навчання та підготовки іноземних громадян Національного транспортного університету (Київ) доктор технічних наук, професор Олександр Марчук – розглянув задачі термічного напруженого стану шаруватих функціонально-градієнтних мілководних оболонок на основі тривимірної постановки задачі. Представлено два підходи до розв’язання задач. Перший підхід ґрунтується на варіаційному принципі Рейснера, і система інтегро-диференційних рівнянь рівноваги та відповідні граничні умови отримані без введення апроксимації. Другий підхід використовує диференційні рівняння тривимірної термопружної рівноваги та поліноміальну апроксимацію шуканих функцій по товщині конструкції. Його характерною особливістю є призначення функцій зовнішнім поверхням шарів, що дає змогу розбивати шари на підшари з відповідним підвищенням точності результатів розрахунку. Для випадку пологих оболонок на шарнірних опорах із тепловим навантаженням, розподіленим за тригонометричним законом, інтегро-диференціальні рівняння рівноваги, отримані для першого підходу, та диференціальні рівняння другого підходу уможливлюють аналітичну реалізацію. У цій постановці аналітично реалізовано запропоновані моделі для окремого випадку шарнірної опори. Однакові результати, отримані за допомогою двох методів, можуть вказувати на надійність.
У розділі 27 описано розв’язання задач напруженого стану анізотропних товстих некруглих циліндричних оболонок із різними неоднорідними структурами на основі дискретно-континуального підходу. Авторки – професорка кафедри теоретичної та прикладної механіки факультету транспортного будівництва Національного транспортного університету (Київ) докторка фізико-математичних наук Лілія Рожок, виконувачка обов’язків директора і завідувачка відділу фізико-механічних властивостей пружних та електропружних властивостей конструктивних елементів Технічного центру НАН України кандидат фізико-математичних наук Світлана Сперкач і старша викладачка Чорноморського національного університету імені Петра Могили кандидатка фізико-математичних наук Лариса Васильєва – представили новий підхід (із використанням дискретних неперервних чисельних методів) для розв’язання задачі про деформований стан анізотропних некруглих циліндрів із гофрованим поперечним перерізом і різними неоднорідними структурами. Науковиці використали комплексну основу, що об’єднує розділення змінних, дискретні ряди Фур’є та надійний числовий метод дискретної ортогоналізації. Зокрема, зосередилися на складному сценарії тришарових і безперервно неоднорідних матеріалів у товстих некруглих циліндричних оболонках. Аналіз спрямований на розуміння розподілу полів переміщень і напружень, оскільки на них впливає форма поперечного перерізу базової поверхні та механічні властивості матеріалу.
У розділі 28 представлено перехід від класичної задачі Біо про циліндричну хвилю до випадку трансверсально ізотропного середовища. Автор – завідувач відділу реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України член-кореспондент НАН України Ярема Рущицький – розглядає задачу про поширення поверхневої гармонічної пружної хвилі вздовж вільної поверхні циліндричної порожнини в напрямі осі порожнини. У випадку ізотропного середовища ця задача є класичною задачею Біо 1952 року. Спершу описано піонерську роботу Біо: аналітичну частину висновків Біо показано в основних фрагментах. Особливості: використання двох потенціалів і представлення розв’язку функціями Макдональда для різних індексів. Потім запропоновано нове пряме узагальнення задачі Біо на випадок трансверсально-ізотропного середовища. Він включає нову постановку та нові математичні процедури. Перехід до поперечної ізотропії унеобхіднює використання складніших представлень переміщень через два потенціали. У підсумку вперше поставлену задачу розв’язано в її аналітичній частині.
Тема розділу 29 – напружений стан твердого палива підтримуваного оболонкою ракетного двигуна за імпульсного навантаження (автори – науковці відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: старший науковий співробітник доктор фізико-математичних наук Ігор Сенченков і старші наукові співробітниці кандидатки фізико-математичних наук Ольга Червінко та Ніна Яковенко. В осесиметричній постановці досліджено напружений стан твердого палива й оболонки демонстраційного варіанту циліндричного ракетного двигуна за імпульсного нормального навантаження на внутрішні або зовнішні поверхні. Припускається, що паливний матеріал є ізотропним лінійно в’язкопружним матеріалом. Методологія розв’язання ґрунтується на наближеному методі Шапері. Задача розв’язується методом скінченних елементів у поєднанні з методом інтегрування по часу Ньюмарка. Отримано максимальні напруження розтягу на межі паливо–оболонка та максимальні напруження розтягу і стиску в оболонці у перехідному хвильовому процесі.
Розділ 30 присвячено динаміці оболонки зі структурними особливостями. Автор – учений секретар і провідний науковий співробітник відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України доктор технічних наук Юрій Скосаренко – описує методику дослідження напружено-деформованого стану зміцненої поздовжніми ребрами конічної оболонки, що містить сконцентровані маси під дією короткочасного осесиметричного тиску, фронт якого переміщується від меншої основи оболонки до більшої. Досліджено вплив ребер, мас і положення фронту хвилі на прогини і згинальні моменти в оболонці.
Розділ 31 стосується стаціонарних температурних полів у радіально неоднорідних порожнистих циліндрах. Автор – заступник директора Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України член-кореспондент НАН України Юрій Токовий – розглядає методику розв’язання двовимірних стаціонарних задач теплопровідності для неоднорідних порожнистих циліндрів, коли температура як на внутрішній, так і на зовнішній поверхнях довільно змінюється за коловою координатою. За допомогою методу прямого інтегрування вихідні крайові задачі зводяться до інтегрального рівняння другого роду. Це дає змогу для довільних профілів зміни теплофізичних властивостей за радіальною координатою отримувати розв’язок у вигляді явних залежностей від прикладених теплових навантажень. Модифікація методики розв’язування дає змогу побудувати подібний розв’язок у випадку багатошарових циліндрів із ідеально контактуючими шарами, властивості яких є довільними функціями радіальної координати.
Нарешті, розділ 32 розкриває вплив дефектів розшарування на динамічний напружено-деформований стан композиційних елементів ракет-носіїв. Автори – науковці відділу вібраційних і термоміцнісних досліджень Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України (Харків): провідний науковий співробітник доктор технічних наук Борис Зайцев, завідувачка відділу докторка технічних наук Наталя Сметанкіна та старша наукова співробітниця кандидатка технічних наук Тетяна Протасова, а також фахівці Державного підприємства «Конструкторське бюро «Південне» імені М.К. Янгеля» (Дніпро): начальник відділу міцності, навантажень і динамічних характеристик кандидат технічних наук Дмитро Клименко та начальник сектору цього ж відділу кандидат технічних наук Дмитро Акімов – розглянули застосування методології моделювання тріщин у схемі методу скінченних елементів для оцінювання впливу розшарування в композитних елементах ракет-носіїв на динамічний напружено-деформований стан. Тріщини моделюються шляхом модифікації скінченно-елементної сітки та застосування формалізованих операцій над матрицями жорсткості та маси початково непошкодженого тіла. Задача розрахунку коливань зводиться до системи диференціальних рівнянь методу скінченних елементів у часі для тіла з криволінійною анізотропією властивостей і матрицями жорсткості та маси, що відображають наявність тріщин. Розв’язання початкової задачі виконано за скінченно-різницевими схемами Ньюмарка та Вілсона. Виконано чисельний аналіз динамічного напружено-деформованого стану обтічника ракети у процесі його відокремлення піротехнічною системою. Змодельовано розшарування в зонах нерегулярного намотування склопластику в композитній оболонці, яка входить до складу зібраних конструкцій обтічника ракети-носія. Показано, що зовнішнє розшарування від краю оболонки є небезпечнішим, ніж внутрішнє, і призводить до значного зростання динамічних напружень. Поставлено і розв’язано задачу про поперечні коливання стержня з приповерхневою тріщиною з урахуванням локальної втрати стійкості внаслідок розшарування. Побудовано модель розшарування, жорсткість якої залежить від величини деформації та виконання умови згину, що призводить до нелінійності коливань. Досліджено ефекти нелінійних коливань, пов’язані з неізохронністю вільних коливань, супер- і субгармонійними резонансами.
Бібліографічний опис видання
Altenbach, H., Bogdanov, V., Grigorenko, A.Y., Kushnir, R.M., Nazarenko, V.M., Eremeyev, V.A. (eds) Selected Problems of Solid Mechanics and Solving Methods. Advanced Structured Materials, vol 204. Springer, Cham.
https://doi.org/10.1007/978-3-031-54063-9
За інформацією Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України