Сучасний рівень розвитку техніки та технологій потребує нових механізмів, а отже, й нових методів їхнього дослідження. Ці механізми мають бути простими, надійними й енергоефективними. Водночас, вони стають дедалі складнішими, адже ускладнюються задачі, задля яких їх створюють, а також математичні моделі, які їх описують. Саме тому одним із надзвичайно важливих завдань сучасної механіки є побудова нових математичних моделей актуальних механічних систем і розроблення нових або вдосконалення вже наявних методів їхнього аналізу. Серед таких актуальних механічних систем – малоприводні механічні системи. Чим вони особливі? На відміну від звичайних підходів синтезу керування, де на кожну ступінь вільності припадає свій вхід керування, у малоприводних механічних системах кількість входів керування, яке реалізує поставлену задачу, може бути меншою за кількість ступенів вільності механічної системи. Завдяки цьому енергетичні витрати зменшуються, а надійність функціонування підвищується, адже якщо один із керуючих пристроїв відмовить, початкову задачу керування можна буде реалізувати за допомогою тих керуючих пристроїв, які продовжать функціонувати. Малоприводні механічні системи широко використовують для моделювання реальних процесів у робототехніці, космонавтиці, морській справі, дослідженні гнучких, мобільних, локомотивних систем і в багатьох інших галузях. Науковці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України теж працюють за цим актуальним напрямом. Зокрема, у відділі стійкості процесів вивчають динаміку таких малоприводних механічних систем (тобто їхній рух під дією різних сил), як, наприклад, маятник із маховиком, механічна модель супутника з подвійним обертанням і маніпулятор із нелінійним пружним зчленуванням. Про ці системи та їхнє дослідження розповідають завідувач відділу академік НАН України Анатолій Мартинюк і провідний науковий співробітник відділу доктор фізико-математичних наук Анатолій Хорошун.
Для початку коротко пояснимо, чим прикметні, цікаві й практично важливі три названі типи малоприводних механічних систем. Спершу – про маятник із маховиком. Маятник є найпростішою моделлю ноги робота, що крокує. Механізми, що крокують, працюють під час періодичних рухів – фаз ходьби, бігу, балансування. Цими складними механізмами потрібно керувати, бо під час нормальної роботи їхня динаміка може структурно змінюватися через втрату ступенів вільності, удари, ковзання тощо. Тому побудова законів керування, які забезпечують бажані якісні характеристики стаціонарних станів і програмних траєкторій таких моделей (зокрема стійкість) при різних припущеннях, є актуальною задачею сучасної робототехніки.
 Моделі робота, що крокує |
Ще один приклад – механічні моделі супутників із подвійним обертанням (Translational oscillator with rotational actuator, скорочено TORA), які (тобто супутники) належать до одного з основних типів безпілотних космічних апаратів. Простіше кажучи, це два тверді тіла (платформа й ротор), з’єднані жорстким валом. Після доправлення на орбіту супутник рухається без взаємного обертання його частин одна відносно іншої, як одне тверде тіло. Завдання полягає у тому, щоби забезпечити необертання платформи, наприклад, для виконання досліджень чи фотозйомки у фіксованому напрямку. Як цього досягають? Розташований на платформі електродвигун за допомогою валу обертає ротор у напрямі, що збігається з напрямом початкового обертання. Завдяки цьому кутова швидкість платформи прямує до нуля, а момент імпульсу ротора стає рівним початковому моменту системи. Проте внаслідок такого маневру супутник може «перекинутися» через збільшення кута нутації, або ж швидкість обертання ротора почне необмежено зростати. У підсумку, космічний апарат може суттєво відхилитися від бажаного руху. Для дослідження цих негативних режимів пропонують (R. K. Yee, Spinup Dynamics of a Rotating System with Limiting Torque, Master’s Thesis, UCLA (1981)) використовувати однойменну механічну модель – TORA: за своєю математичною природою вона подібна до моделі супутника з подвійним обертанням і, як і маятник із маховиком, теж належить до класу малоприводних механічних систем. До речі, TORA цікава не лише в контексті вивчення поведінки космічних апаратів, а й сама по собі – як модель механізму для активного гасіння вібрації обертанням ексцентрикового маховика. Водночас, як наголошують науковці, аналізуючи динаміку механічних систем і будуючи відповідні математичні моделі, слід прискіпливіше зважати на процеси, що виникають під час деформації пружних елементів, які входять до їх складу. Інакше адекватність побудованих моделей зменшуватиметься, а реальна поведінка модельованих систем відрізнятиметься від прогнозованої. Оскільки модель TORA ще мало вивчена в умовах нелінійної залежності сили, яка виникає під час деформації пружини, від зміщення, в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України працюють над побудовою керування механічною системою на основі такої моделі.
 GEOTAIL – супутник із подвійним обертанням |
Нарешті, третій приклад малоприводних механічних систем – це маніпулятор із пружним зчленуванням, утілений, скажімо, у промислових роботах. Однією з причин виникнення вібрацій у маніпуляторах промислових роботів є пружність зчленувань між керуючим приводом і керованою ланкою. Це може викликати деформація елементів трансмісії (ременів передачі чи довгих валів), зокрема, коли вони швидко рухаються або зазнають великих навантажень. Моделюючи механічні системи, такими малими збуреннями зазвичай нехтують. Водночас, експерименти довели, що це може призводити до некоректності моделей і, як наслідок, до небажаних фізичних ефектів на кшталт резонансу, здатного зруйнувати частини механізму. Тож, знов-таки, потрібні адекватні моделі керування такими механічними системами. І що більше ці моделі враховують нелінійнійсть сили, яка виникає внаслідок деформації, то адекватнішими вони є. Це особливо критично, коли йдеться про великі навантаження й інші пограничні режими функціонування маніпулятора. Отже, досліджувати динаміку маніпулятора саме з нелінійним пружним зчленуванням надзвичайно важливо й актуально, щоби не лише розвивати теорію малоприводних механічних систем, а й краще розуміти динаміку промислових маніпуляторів і підвищувати їхню надійність.
 Промислові маніпулятори |
Усі ці приклади доводять, по-перше, наскільки вагому практичну роль відіграють наукові дослідження, коли навіть теоретичні розрахунки мають цілком реальні, матеріальні наслідки, а по-друге, чому в таких розрахунках (і особливо у них) слід зважати на дрібниці. Адже, будуючи математичну модель, зазвичай намагаються спростити початкову задачу, а для цього – нехтують деякими доданками чи складовими руху. Наприклад, припускають, що параметри моделі виміряні точно й не змінюються протягом усього часу її функціонування. Вважається, що знехтувані доданки малі, а похибки вимірювання неістотні. І чимало моделей, одержаних унаслідок таких спрощень, стали чи не аксіоматичними. Хоча не кожною малою величиною можна знехтувати, не спотворивши суті задачі. Це демонструють деякі механічні системи, що поводяться не так, як прогнозувалося.
То який же математичний апарат допоможе розв’язати цю проблему? Чисельні методи та наближені методи інтегрування, що їх зазвичай використовують дослідники, у цих випадках не дають потрібного результату – як із погляду точності, так і з погляду скінченності й величини часового інтервалу, на якому цей результат одержано (адже деякі механічні системи на зразок аерокосмічних апаратів і транспортних систем слід розглядати на доволі великих або ж узагалі наближених до нескінченності часових проміжках). Натомість перспективним є метод функцій Ляпунова. Він, з одного боку, «працює» на нескінченних часових проміжках, а з іншого – дає змогу не розв’язувати систему диференційних рівнянь (бо таке розв’язання може бути надзвичайно складним і навіть неможливим, якщо система істотно нелінійна чи має велику розмірність).
Проте застосувати цей метод вдасться, лиш якщо побудувати допоміжну функцію для того чи того класу систем диференційних рівнянь, бо регулярної процедури такої побудови (тобто для всіх класів систем диференційних рівнянь), на жаль, немає. Отже, механіки-теоретики стикаються тут із дуже творчим завданням: вони мають розробити нові способи побудови допоміжних функцій або зуміти поширити відомі методи на нові класи систем диференційних рівнянь. Саме цим успішно займаються науковці відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.
За інформацією Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України