Ukrainian
Summary:Ця книга є підсумком багаторічної роботи з вивчення рівнянь Бельтрамі з виродженням. Це - підсумок не тільки нашого власного довгострокового співробітництва, але також багатьох інших авторів у даній області. Ми показуємо, що наш геометричний підхід, розвинений на основі модулів та ємностей, дозволяє отримати основні теореми існування, як добре відомі, так і встановлені нещодавно. Рівняння Бельтрамі відіграє важливу роль в геометрії, аналізі та фізиці, а також у теорії квазіконформних відображень та їх узагальнень, груп Клейна і просторів Тейхмюллера. Починаючи з дев'яностих років минулого століття, відновився інтерес і активність в зазначених областях і, зокрема, у вивченні вироджених і альтернованих рівнянь Бельтрамі. У даній монографії ми обмежилися вивченням лише основних властивостей розв’язків, таких як існування, єдиність, гранична та локальна поведінка, які можуть бути отримані методом екстремальних довжин. Монографія може бути використана як підручник для одно- або двосеместрового курсу.
Russian
Summary:Эта книга является итогом многолетней работы по изучению уравнений Бельтрами с вырождением. Это - итог не только нашего собственного долгосрочного сотрудничества, но также многих других авторов в данной области. Мы показываем, что наш геометрический подход, развитый нами на основе модулей и емкостей, позволяет получить основные теоремы существования, как хорошо известные, так и установленные недавно. Уравнение Бельтрами играет важную роль в геометрии, анализе и физике, а также в теории квазиконформных отображений и их обобщений, групп Клейна и пространств Тейхмюллера. Начиная с девяностых годов прошлого века, возобновился интерес и активность в указанных областях и, в частности, в изучении вырожденных и альтернированных уравнений Бельтрами. В данной монографии мы ограничились изучением только самых основных свойств решений, таких как существование, единственность, граничное и локальное поведение, которые могут быть получены методом экстремальных длин. Монография может быть использована как учебник для одно- или двусеместрового курса
English
Summary:The book is a summation of many years’ work on the study of Beltrami equations with singularities. This is not only a summary of our own long-term collaboration but also with that of many other authors in the field. We show that our geometric approach based on the modulus and capacity developed by us makes it possible to derive the main known existence theorems, including sophisticated and more general existence theorems that have been recently established. The Beltrami equation plays a significant role in geometry, analysis, and physics, and, in particular, in the theory of quasiconformal mappings and their generalizations, Kleinian groups, and TeichmЁuller spaces. There has been renewed interest and activity in these areas and, in particular, in the study of degenerate and alternating Beltrami equations since the early 1990s. In this monograph, we restrict ourselves to the study of very basic properties of like existence, uniqueness, boundary and local behavior that can be derived by extremal length method. The monograph can serve as a textbook for a one- or two-semester graduate course.