Ukrainian
Summary:У монографії подаються теорія і методи застосування перетворень Фур’є та Лапласа у прикладних дослідженнях. Перша частина роботи присвячена методам розв’язування нелінійних задач апроксимації дійсних невід’ємних фінітних функцій від однієї та двох змінних перетвореннями Фур’є. Такі задачі виникають у багатьох практичних застосуваннях, у яких роль апроксимуючої функції відіграє модуль функції неперервного або дискретного перетворення Фур’є. В математичному аспекті це обернені задачі з неповною вхідною інформацією, у яких найкраще наближення здійснюється за рахунок оптимального вибору функції-прообразу перетворення Фур’є. Характерною особливістю цих задач є неєдиність і галуження (або біфуркація) існуючих розв’язків залежно від зміни величини фізичних параметрів, що описують області визначення та області значень заданої фінітної та апроксимуючої функцій.
Summary:Загальна структура та властивості існуючих розв’язків визначаються на підставі дослідження методами теорії галуження нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, одержаних з необхідної умови мінімуму відповідних функціоналів. Розроблено чисельні методи для знаходження ліній галуження розв’язків, побудовано та обґрунтовано ітераційні процеси для чисельного знаходження оптимальних розв’язків. У другій частині роботи подається ефективний підхід до застосування інтегрального перетворення Лапласа для розв’язування диференціальних рівнянь стосовно динамічних задач теорії пружності для тіл з тріщинами. Числове обернення проведено з використанням адаптованої до розглядуваного класу задач формули Пруднікова та відповідної сплайн апроксимації.
Reading audience:Для спеціалістів з прикладної та обчислювальної математики, студентів та аспірантів відповідних спеціальностей.