Про математичні моделі, що лежать в основі різних виборчих систем, принципи вітчизняної виборчої системи і застосування теорії ігор у повсякденному житті в інтерв’ю науково-популярній програмі «Академія наук» з Дмитром Сімоновим і Юрієм Пустовітом, яка виходить в ефір на хвилях радіостанції «Радіо НВ», розповів старший науковий співробітник науково-дослідного відділу теорії комп’ютерних обчислень Інституту програмних систем НАН України кандидат фізико-математичних наук Олексій Ігнатенко.
 Кандидат фізико-математичних наук Олексій Ігнатенко (у центрі) з ведучими науково-популярної програми «Академія наук» на радіостанції «Радіо НВ» Дмитром Сімоновим (ліворуч) і Юрієм Пустовітом(фото – з Facebook-сторінки Дмитра Сімонова: https://www.facebook.com/dmytro.simonov.7)
|
«Перша велика виборча проблема виникла після ухвалення Конституції США. Цей документ містить пункт, який передбачає, що в Конгресі кожен штат має отримати представництво, пропорційне кількості виборців, які мешкають на його території. Тобто що більший штат, то більшу кількість місць він повинен мати у Конгресі. Але якщо загальну кількість виборців поділити на кількість виборців конкретного штату, то можна отримати дробове число, скажімо, 4,5 місця. Половину конгресмена призначити неможливо – врешті-решт, місць має бути або 4, або 5. Отже, може так статися, що кількість конгресменів варіюватиметься від одних виборів до інших. Крім того, кількість населення змінюється. Це по-перше. А по-друге, порушуватиметься базовий конституційний принцип пропорційного представництва. Тому впродовж тривалого часу пропонувалися різні алгоритми, що дали б змогу вирішити цю суперечність. У 1940-х роках конгресмени навіть консультуватися з математиками (щодо цього збереглись і офіційні запити), й у результаті було доведено, що науково вирішити цю проблему неможливо: Конституція США містить такі правила, які не можуть мати математичного розв’язку. З огляду на це, американці погодилися на виборчу систему, котра забезпечує досягнення прийнятного рівня справедливості, хоча, звичайно, є далеко не ідеальною. Водночас, це спонукало вчених замислитися над процесом і результатом голосування на виборах. Дослідники запропонували таку математичну модель: кожен виборець має певні альтернативи і якимось чином ранжує їх для себе, тобто одній альтернативі відводить перше місце, іншій – друге і так далі. Множина виборців, які мають ранжовані альтернативи, повинна за допомогою тієї чи іншої процедури голосування отримати результат. Якщо йдеться про вибори, то таким результатом є переможець. Система може бути й більш загальною: наприклад, із певної множини проектів потрібно обрати 10-15, що отримають фінансування», – пояснив гість радіостудії.
Олексій Ігнатенко також зауважив, що за умовами, які пропонує математика, не може так статися, що жодна альтернатива не буде прийнятною для виборця, оскільки передбачається, що, перш ніж голосувати, він має визначитися зі своїм ставленням до запропонованих альтернатив, або ж визначити свої вподобання. Інакше кажучи, за певну альтернативу виборець проголосує, якщо віддасть їй перше місце у переліку альтернатив, за іншу – якщо віддасть їй друге місце і при цьому проголосувати за першу альтернативу з якоїсь причини не буде можливості, і так далі. Саме таким чином альтернативи й упорядковуються.
«Однак практика, як правило, відрізняється від теорії: виборець визначає своє ставлення лише до двох-трьох альтернатив (кандидатів), решта ж його не цікавлять, всі вони для нього більш-менш однакові. Якщо будується математична модель для такої виборчої системи, то вона повинна мати певні властивості. Наприклад, якщо всі виборці ставлять кандидата А на перше місце, а кандидата В – на друге, то результатом виборів має бути обрання кандидата А (це так звана властивість Парето-оптимальності). Оскільки виборці ранжували його як альтернативу, кращу порівняно з іншими пропонованими альтернативами», – говорить науковець.
«В Україні працює виборча система європейського типу, не характерна для американських виборів, які відбуваються в умовах двопартійної системи, що встановилася понад 200 років тому, – продовжує Олексій Ігнатенко. – У президентських виборах у США, за рідкісними винятками, беруть участь 2 кандидати, і лише вони мають шанс на успіх. Якщо коротко: коли на виборах змагаються два кандидати, а умова обрання – отримання одним із них абсолютної більшості голосів (тобто 50% і один голос), то безперечна перевага цієї системи полягає не тільки в тому, що результат виборів визначиться досить швидко і легко. Крім того, ця модель досить точно відображає вподобання виборців. Звісно, за відсутності фальсифікацій. Це справедливо і для виборчої системи в Україні, а саме – для другого туру».
«Якщо кандидатів на перемогу більше двох – три і більше, – то виникає проблема. У 1952 році Кеннет Ерроу довів теорему, що отримала назву «теорема про неможливість» (і, до речі, отримав за це Премію Шведського центрального банку з економічних наук на честь Альфреда Нобеля, а, крім того, став наймолодшим лауреатом цієї премії (51 рік), оскільки вік економістів, яким її доти присуджували і присуджують зараз, в середньому дорівнює 67). Він, фактично, стверджував, що якщо до системи голосування висуваються вимоги відповідати кільком (трьом-чотирьом) необхідним властивостям, а кількість альтернатив перевищує дві, то єдиною можливою системою в такому разі є диктатура. Проте в розумінні Ерроу під диктатурою мається на увазі не необмежена влада однієї людини чи групи людей, а наявність виборця, голос якого вирішує долю голосування, тобто його вибір відразу транслюється в результат голосування (такого виборця ще називають диктатором). Цей висновок Ерроу був досить несподіваним і спричинив появу багатьох висловлювань, яких у його доведенні не передбачено: наприклад, про те, що демократія приречена, або про те, що єдино можлива система – це диктатура. Звичайно, це неправда».
Олексій Ігнатенко також пояснив, що означає одна з бажаних властивостей системи голосування, а саме – її незалежність від нерелевантних альтернатив: «Це складніше розтлумачити, ніж властивість Парето-оптимальності. Проілюструю історією про філософа Сідні Моргенбессера, котрий відомий не так завдяки своїм працям, як через кумедні ситуації, в яких опинявся. Одного разу він завітав до ресторану пообідати і насамкінець вирішив замовити десерт. Офіціант повідомив, що в меню з цих страв – тільки яблучний або чорничний пиріг. Коли Моргенбессер замовив чорничний, за деякий час офіціант підійшов знову, перепросив і уточнив, що в меню – також вишневий пиріг. Філософ подумав і відповів, що в такому разі скуштує яблучного. Це, звичайно, виглядає алогічно, адже він не хотів вишневого пирога, проте сама можливість обрати вишневий пиріг змусила його передумати і змінити свій вибір на користь іншої з двох перших альтернатив. На рівні однієї людини такий вибір і справді може видатися парадоксальним, але якщо йдеться про групу людей, то цілком можлива така ситуація: кандидат А перемагає кандидата В, але другий може виграти вибори внаслідок появи кандидата С – так званого спойлера, що відбирає голоси у кандидата А».
«При проведенні виборів в один тур у системі голосування за Ерроу можуть виникнути дві головні проблеми – уже згадані спойлери («технічні» кандидати, завдання яких – не здобути перемогу, а відібрати голоси в інших кандидатів) і розщеплення голосів. Реальний приклад, що ілюструє першу проблему – так звані «нескінченні вибори» у США 2000 року, під час яких на пост президента країни претендували двоє кандидатів – Джордж Буш-молодший і Альберт Гор, розрив між якими був дуже невеликим. Оскільки американська виборча система базується на виборниках, склалася ситуація, що кандидат, який здобував підтримку одного вирішального штату – Флориди – перемагав на виборах. Того ж року, крім двох головних кандидатів, балотувався ще й представник Партії зелених Ральф Найдер. Саме ця обставина і вирішила тоді долю президентських виборів та світової історії, оскільки Найдер здобув у Флориді кілька тисяч голосів, а Буш-молодший випередив Гора всього на 700. Найдер висунув свою кандидатуру, оскільки мав намір здобути Партії зелених державне фінансування, проте він, фактично, став спойлером, бо, як вважається, відібрав голоси у Гора – їхні передвиборчі програми були досить подібними».
«Попри те, що Альберт Гор загалом отримав більше голосів американських громадян, а переміг Джордж Буш-молодший, самі американці вважають свою виборчу систему в цілому справедливою, адже кожен зі штатів має, по суті, статус окремої держави й, відповідно, чимало атрибутів, які такому статусові відповідають: власні закони, парламенти тощо. По-різному в різних штатах відбуваються й вибори: наприклад, у деяких штатах усі голоси, подані за кандидата, який не набирає відносної більшості, «згоряють», в інших – враховуються. Нам в Україні насправді дуже мало відомо про американську виборчу систему, але вона досить цікава».
Відповідаючи на запитання радіоведучих, гість студії зауважив, що в умовах виборчої системи з другим туром, чинної в Україні, велика кількість кандидатів мало впливає на остаточний результат. З іншого боку, кожен кандидат отримує право публічно виступати у ЗМІ, що фінансуються з державного бюджету, пропонувати своїх представників при формуванні виборчих комісій тощо. Тому наявність такої кількості кандидатів зумовлена стратегічними причинами.
Отримані Кеннетом Ерроу результати спонукали інших дослідників до розроблення нових систем голосування, котрі б, скажімо, мінімізували вплив на остаточний результат кандидатів, які не мають шансів бути обраними. Система Ерроу працює за принципом «один виборець – один голос». Проте системи, які з’явилися згодом, передбачають можливість голосувати за кількох кандидатів одразу, і перемогу здобуває той із кандидатів, хто набрав найбільшу кількість поданих голосів. Ця система, однак, має і суттєвий недолік – нею порівняно легко маніпулювати: склад кандидатів можна підібрати таким чином, аби отримати потрібний результат.
Крім зазначеної системи, існує так звана система з передачею голосу (багатотурова), котра застосовується, наприклад, в Ірландії та – частково – у Великій Британії. Виборець ранжує кандидатів зі списку, і якщо, скажімо, кандидат, якому він віддає свій голос у першу чергу, не потрапляє до наступного туру, голос переходить до кандидата №2 і так далі. Варіант цієї системи, за словами Олексія Ігнатенка, зараз пропонується в законопроекті про Виборчий кодекс України, але немає певності, що Парламент схвалить таку новацію. «Один із цікавих наслідків системи з передачею голосу – посилення внутрішньопартійної боротьби, адже за умов, коли кожен виборець може віддавати свій голос за кількох кандидатів, політичні партії мають право висувати на вибори по кілька своїх кандидатів, кожен із яких зацікавлений в отриманні максимальної кількості голосів», – зауважує науковець.
«Ще одна система, яку нині пропонують, але поки що її ніде не імплементовано у виборчий процес, – система з рейтинговим (або ж інтервальним) голосуванням на зразок тієї, котра діє, наприклад, на всесвітньо відомому Інтернет-сервісі «Amazon.com», вибираючи товар на якому, користувачі мають можливість оцінювати його за п’ятибальною шкалою (де 1 – «не подобається», 5 – «відмінно»), – веде далі Олексій Ігнатенко. – З математичної точки зору, наразі ця система є найкращою з усіх можливих, адже вона стійка до маніпуляцій і не дає парадоксальних ефектів. Якщо застосувати її під час політичних виборів, виборець зможе поставити оцінки від 1 до 5 одному кандидатові, або кільком, або всім. За підсумками голосування обчислюватиметься рейтинг кожного кандидата, і переможе той, хто матиме максимальний рейтинг».
Олексій Ігнатенко розповів також про виникнення й розвиток теорії ігор, засновником якої є американський учений Джон фон Нейман, особистість багатостороння й неординарна. Він народився на території Угорщини й закінчив одну з будапештських шкіл. Перший науковий ступінь отримав у галузі хімії. Потім почав займатися математикою і залишив помітний науковий слід практично за кожним із напрямів цієї науки, котрі існували на той час. 29-річним написав підручник із теоретичної фізики, в якому поєднав підходи Шрьодінгера й Гайзенберга, фактично, розв’язавши, найактуальнішу проблему, що стояла перед тодішніми фізиками. У зв’язку з політичною ситуацією у 1930-х роках фон Нейман емігрував до США та, як і п’ятеро інших науковців-емігрантів (серед яких – Ейнштейн і Гьодель), отримав місце у Прінстонському інституті перспективних досліджень. Там він почав займатися фізикою, перший час навіть керував дослідженнями зі створення ядерної зброї (так званим Мангетенським проектом). Йому належить і створення першого комп’ютера. Близько 70% сучасних комп’ютерів мають так звану фон-нейманівську архітектуру. У вільний від основних досліджень час учений заклав основи теорії ігор (за словами Олексія Ігнатенка, нинішні фахівці замість цього терміну вживають інший – «стратегічна взаємодія раціональних агентів») та спільно з Оскаром Моргенштерном написав книгу «Теорія ігор і економічна поведінка».
«Фон Нейман був людиною дуже амбітною і мав на меті перетворити економіку на таку ж точну науку, як математика чи фізика, тобто сформулювати систему аксіом або математичну теорію, котра пояснювала б, як люди взаємодіють між собою в економічній сфері, запропонувати моделі, які б описували економічні відносини», – розповідає Олексій Ігнатенко і додає: «До речі, у грі далеко не завжди є переможець і переможений. У теорії фон Неймана йдеться передусім про агентів (діячів), які ухвалюють ті чи інші рішення. Стратегічний тип взаємодії означає, що рішення, ухвалювані одними агентами, впливають на виграші інших. Якби цього не було – кожен агент просто максимізував би власний виграш. Одне з припущень фон Неймана полягало в тому, що кожен гравець розуміє, що для нього краще, а що – гірше, тобто діє раціонально і здатен оцінити наслідки тих чи інших ситуацій, до яких призведуть певні дії. Проте в деяких ситуаціях це важко або взагалі неможливо зробити – наприклад, під час гри в шахи. Це досить складна гра з багатьма варіантами, проте результат може бути тільки одним із трьох: виграють білі, виграють чорні, нічия. У межах теорії ігор вдалося довести, що варіантів насправді чотири: виграшна стратегія за білих, нічийна стратегія за білих, виграшна стратегія за чорних, нічийна стратегія за чорних. Але обчислити ці стратегії неможливо.
Оскільки фон Нейман надихався салонними іграми, в яких часто брав участь, то займався й розробленням моделей, пов’язаних зі скінченними наборами стратегій. Завдяки цьому йому вдалося досягти кількох надзвичайно важливих результатів, пов’язаних із питаннями рівноваги, мінімаксу та деякими іншими».
«Теорія ігор, – зауважує Олексій Ігнатенко, – має і свої недоліки й обмеження. Адже вона передбачає, що задано правила та гравців, і намагається збагнути ідеальний перебіг подій, який можливий лише тоді, коли всі гравці діють раціонально, вибираючи найкращі варіанти поведінки. Тому останнім часом виникають нові напрями (наприклад, поведінкова економіка), які вказують, за яких умов теорія ігор не спрацьовує, і намагаються описати цікаві ефекти, яких вона не може пояснити».
Попри це, теорія ігор, як наголосив учений, знайшла широке застосування у практиці: «Теорія ігор пройшла довгий шлях, починаючи від 1950-х років. 1960-1970-ті роки минули під знаком її застосування в економіці. Пізніше її було використано в біології. Адже, скажімо, взаємодія видів живих істот у природі – це теж різновид гри, виграшем у якій є можливість передати свої гени наступним поколінням, а стратегією – набір генів, який формує тіло живого організму і визначає його поведінку.
Застосовується теорія ігор і в computer science. Зокрема, кожен, хто користується Інтернетом для купівлі товарів і послуг, у певному сенсі використовує результати теорії ігор. Коли користувач заповнює пошуковий рядок у Google, за лаштунками відбувається аукціон, на якому різні виробники змагаються за право показатися користувачу у вигляді реклами свого сайту. Умовно кажучи, один виробник готовий заплатити за це 1 грн, другий – 2 грн, третій – 5 грн. І, врешті-решт, серед результатів пошуку першим з’являється сайт того виробника, який заплатив за рекламу найбільшу суму. Коли користувач відвідує його сайт (навіть якщо в підсумку нічого й не придбає), виробник сплачує компанії Google другу із запропонованих цін – у нашому випадку це 2 грн. Відповідно, такий аукціон називається аукціоном із другою ціною. І збагнути механізми цього аукціону та його переваги допомогла саме теорія ігор. Загалом, в економічній сфері здобутки теорії ігор, напевно, найочевидніші та приносять найбільшу користь. Наприклад, продавець на аукціоні зацікавлений продати товар тому, хто цей товар найбільше хоче, адже такий покупець сплатить найвищу ціну. Виходить, що правила аукціону є, фактично, правилами гри, в якій стратегією є ставка, а а виграшем – можливість купити лот. Залежно від правил поведінка гравців різнитиметься, різними можуть бути й переможці аукціону. І фахівці виявили, що для різних цілей потрібно проводити різні аукціони. Це теж допомогла з’ясувати теорія ігор».
Відповідаючи на запитання ведучих програми, Олексій Ігнатенко пояснив, що на фондовому ринку теорія ігор безпосередньо не використовується, але вона знайшла широке застосування при конструюванні ринку.
Аудіозапис радіопередачі доступний за посиланням:
https://soundcloud.com/radio-nv/akademya-nauk-oleksy-gnatenko-pro-vibori-z-tochki-zoru-teor-gor-090319
Більше дізнавайтеся з публікацій в особистому блозі Олексія Ігнатенка: https://site.ua/olexii.ignatenko/,
а також із відеозаписів науково-популярних лекцій ученого:
https://youtu.be/E5NVtmVL0og
https://youtu.be/8XzxCOGeJdI
Наступну лекцію з теми «Теорія ігор. Системи голосування, вибори і маніпуляції» Олексій Ігнатенко прочитає 3 квітня 2019 року: http://www.nas.gov.ua/UA/Messages/Pages/View.aspx?MessageID=4735.
* * *
Академія радить: обирайте відповідально!